Fransa'nın başkenti Paris'ten 35 km. batısında yer alan Mantes-la-Jolie semtinde dünyaya gelen Sow, 6 çocuklı ailenin 3. çocuğudur. Babası Renault'ta çalışırken, Annesi ise otelde temizlik görevlisiydi. Babası, 1970'lerin ortalarında bu semte yerleşti. Aile orta halli geçiniyordu. Eğitimini de orada sürdürdü. 15 yaşına kadar bu semtte ailesiyle birlikte hayatına devam etti.
Futbola Mantes'da başlayan ve sırasıyla; Amiens ile Rennes'de futbola devam eden Moussa Sow, 2004 yılında Rennes ile ilk profesyonel maçına çıktı. 2006 yılında profesyonelliğe adım attıktan sonra 2007-08 sezonunda Sedan'a bir yıllığına kiralık olarak giden Sow, takımının Fransa Kupası'nda yarı finale yükselmesinde büyük katkı sağladı. 2008 yılında Rennes'e geri dönen Sow, 2010 yılında Lille'e transfer oldu.
İlk sezonunda Ligue 1'de attığı 25 golle gol kralı oldu ve tüm dikkatleri üzerine çekti. 2011 yılında ise Senegal'de "Yılın Futbolcusu" ödülünü kazandı ve Afrika'da "Yılın Takımı"'nda da yer aldı. Sık sık adı Fenerbahçe ile anılan Sow, 2011-12 sezonu devre arasında Fenerbahçe ile 4,5 yıllık sözleşme imzaladı ve Fenerbahçe ile ilk sezonunda Türkiye Kupası'nı kazandı.
Sow, Fransa U-19 ve Fransa U-21 millî takımlarında da mücadele etti. 2005 yılında Fransa U-19 ile Avrupa 19 Yaş Altı Futbol Şampiyonası'nı kazandı. 2008 yılında tercihini Senegal'den yana kullandı ve Sow, Senegal formasını ilk kez 2009 yılında Demokratik Kongo karşısında giyerken; ilk golünü de yine Demokratik Kongo karşısında attı. Sow, millî takımıyla 2012 Afrika Uluslar Kupası'nda da mücadele etti, Sow bu turnuvada sadece bir gol atabildi ve Senegal turnuvadan puansız olarak elendi.
Moussa Sow, ülkesinde '2013 yılının en iyi Senegalli futbolcusu' seçildi.Sow, Demba Ba, Sadio Mané ve Papiss Cisse gibi isimleri geride bıraktı.
